Un nénuphar pousse dans un étang et double de surface chaque jour. Au bout de 30 jours, il recouvre tout l’étang.
Au bout de combien de jours recouvrait-il la moitié de l’étang ?
La solution
Au bout de 29 jours : il suffit d’une journée de plus pour doubler et couvrir tout l’étang. La réponse « 15 jours » est un piège classique.
Si désigne la surface couverte le jour , la suite est géométrique de raison 2 : . La moitié de est donc .
Pourquoi notre intuition se trompe
La réponse « 15 jours » vient d’un raisonnement proportionnel : on imagine une croissance régulière, qui ajouterait chaque jour la même surface. Or ici, c’est la surface elle-même qui double : la croissance est exponentielle, et presque tout se joue à la fin.
Jour | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
Étang couvert | 1,6 % | 3,1 % | 6,3 % | 12,5 % | 25 % | 50 % | 100 % |
Au 25e jour, le nénuphar ne couvre que 3 % de l’étang : un observateur pourrait croire qu’il reste tout le temps d’agir. Cinq jours plus tard, l’étang est plein.
Cette énigme a été popularisée par le rapport « Les limites à la croissance » (1972), qui s’en servait pour illustrer les dangers d’une croissance exponentielle.
La légende de l’échiquier
Selon une légende indienne, l’inventeur des échecs demanda pour récompense un grain de blé sur la première case de l’échiquier, deux sur la deuxième, quatre sur la troisième, et ainsi de suite en doublant jusqu’à la 64e case. Le roi, amusé par tant de modestie, accepta. Il lui fallait en réalité :
Soit plusieurs siècles de la production mondiale actuelle de blé.
Pour aller plus loin
Si l’on plante deux nénuphars au lieu d’un, combien de jours faut-il pour couvrir l’étang ?
Le premier jour, le nénuphar couvre 1 m². Quelle est la surface de l’étang ?
Quel jour le nénuphar couvre-t-il pour la première fois plus de 1 % de l’étang ?
Les réponses
29 jours : deux nénuphars couvrent dès le départ deux fois plus de surface, ils ont donc un jour d’avance.
Le trentième jour, il couvre 2²⁹ m², soit 536 870 912 m² : environ 537 km², presque la superficie du lac Léman.
Le 24e jour : il couvre alors 1/64 de l’étang, environ 1,6 %. La veille, il n’en couvrait que 0,8 %.