Dans un jeu télévisé, trois portes : derrière l’une se trouve une voiture, derrière les deux autres une chèvre. Vous choisissez une porte. Le présentateur, qui sait où est la voiture, ouvre alors une des deux autres portes, qui cache une chèvre, et vous propose de changer d’avis.
Le problème doit son nom à Monty Hall, présentateur du jeu américain Let’s Make a Deal, qui a inspiré cette situation.
Avez-vous intérêt à changer de porte ?
Un indice
Quelle est la probabilité que votre premier choix soit le bon ? Le présentateur, en ouvrant une porte, change-t-il cette probabilité ?
La solution
Oui ! En changeant, on gagne avec une probabilité de , contre en gardant sa porte.
On perd en changeant seulement si l’on avait choisi la voiture du premier coup, ce qui arrive une fois sur trois. Dans les deux autres cas, le présentateur est obligé d’ouvrir l’autre porte à chèvre, et la porte restante cache la voiture.
Premier choix | Garder | Changer |
|---|---|---|
Voiture (1/3) | Gagné | Perdu |
Chèvre A (1/3) | Perdu | Gagné |
Chèvre B (1/3) | Perdu | Gagné |
Cent portes pour y voir clair
Si l’argument ne convainc pas, grossissez le problème. Il y a cent portes et vous en choisissez une. Le présentateur, qui sait tout, ouvre 98 des 99 autres, toutes sur des chèvres, et n’en laisse qu’une fermée. Garderiez-vous votre porte, choisie au hasard parmi cent, ou prendriez-vous celle que le présentateur a soigneusement évité d’ouvrir ?
En changeant, on gagne cette fois avec une probabilité de .
Une polémique célèbre
En 1990, la chroniqueuse Marilyn vos Savant publie la bonne réponse dans le magazine américain Parade. Elle reçoit des milliers de lettres, dont des centaines signées par des docteurs en mathématiques, pour lui expliquer qu’elle se trompe. Même le grand Paul Erdős ne fut convaincu qu’en voyant le résultat d’une simulation.
Tout repose sur les règles du jeu. Le présentateur ouvre toujours une porte, toujours une porte à chèvre, et propose toujours l’échange. S’il ouvrait une porte au hasard et que, par chance, elle cachait une chèvre, changer ou garder donnerait une chance sur deux.
Vérifier par la simulation
Pas convaincu ? Simulez le jeu 1 000 fois avec un tableur ou un programme Python, et comptez.
import random
def partie(changer):
voiture = random.randint(1, 3)
choix = random.randint(1, 3)
# Le présentateur ouvre une porte à chèvre, autre que celle choisie.
ouverte = next(p for p in (1, 2, 3) if p != choix and p != voiture)
if changer:
choix = next(p for p in (1, 2, 3) if p != choix and p != ouverte)
return choix == voiture
n = 10_000
print(sum(partie(True) for _ in range(n)) / n) # environ 0.67
print(sum(partie(False) for _ in range(n)) / n) # environ 0.33Sur dix mille parties, celui qui change gagne environ deux fois sur trois, celui qui garde une fois sur trois.