Peut-on paver tout le plan avec des copies d’une seule forme, sans que le motif ne se répète jamais ? La question, posée depuis les années 1960, a trouvé sa réponse en 2023 grâce à un amateur : David Smith, retraité anglais passionné de puzzles.
Paver le plan, c’est quoi ?
Paver le plan, c’est le recouvrir entièrement de tuiles, sans trou ni chevauchement, comme un carrelage infini. Un pavage est périodique si l’on peut le faire glisser (le translater) pour qu’il se superpose exactement à lui-même : c’est le cas de tous les carrelages de salle de bains.
Pourquoi seulement trois polygones réguliers ?
Autour de chaque sommet, les angles des tuiles doivent faire exactement 360°. Or un polygone régulier à côtés a des angles de :
Polygone | Angle | Tuiles autour d’un sommet |
|---|---|---|
Triangle | 60° | 6 |
Carré | 90° | 4 |
Pentagone | 108° | 3,33… impossible |
Hexagone | 120° | 3 |
Octogone | 135° | 2,66… impossible |
Au-delà de six côtés, l’angle dépasse 120° : deux tuiles ne suffisent plus à faire le tour d’un sommet, et trois sont déjà trop. Seuls le triangle, le carré et l’hexagone conviennent.
Une longue quête
Année | Étape |
|---|---|
1961 | Hao Wang conjecture que toute famille de tuiles qui pave le plan peut le paver de façon périodique. |
1966 | Robert Berger réfute la conjecture avec une famille apériodique de 20 426 tuiles. |
1971 | Raphael Robinson descend à 6 tuiles. |
1974 | Roger Penrose n’en utilise plus que 2. |
2023 | Le chapeau : une seule tuile. |
Restait le « problème de l’einstein », de l’allemand ein Stein, « une pierre » : existe-t-il une tuile unique qui ne pave le plan que de façon apériodique ?
Un polygone à 13 côtés
Sa tuile, surnommée « le chapeau », est formée de 8 cerfs-volants accolés. Avec trois mathématiciens (Joseph Samuel Myers, Craig Kaplan et Chaim Goodman-Strauss), il a démontré qu’elle pave le plan, mais seulement de façon apériodique : aucune translation ne superpose le pavage à lui-même.
David Smith l’a trouvée fin 2022 en jouant avec un logiciel de puzzles, puis en découpant des tuiles en carton. Intrigué de ne jamais parvenir à former un motif qui se répète, il a contacté Craig Kaplan, spécialiste des pavages à l’université de Waterloo, au Canada.
Une seule tuile, un pavage infini qui ne se répète jamais : ce que Roger Penrose obtenait avec deux tuiles, le chapeau le fait seul.
Le chapeau exige d’utiliser aussi des copies retournées. Quelques semaines plus tard, la même équipe a publié le spectre, une tuile voisine qui y parvient sans retournement.
Pour comparer
Les carrés, les triangles équilatéraux et les hexagones réguliers pavent le plan de façon périodique.
Les pavages de Penrose (années 1970) sont apériodiques, mais demandent deux tuiles différentes.
Le chapeau fait le même travail avec une seule tuile.
En classe
Le patron du chapeau se trouve sur la page de Craig Kaplan. Une activité possible :
Imprimer et découper une vingtaine de chapeaux dans du carton.
Les assembler sans trou ni chevauchement, le plus loin possible.
Colorier les tuiles retournées : elles sont nettement moins nombreuses.
Chercher un motif qui se répète… et constater qu’il n’y en a pas.