Dans une classe de 30 élèves, parieriez-vous que deux élèves au moins sont nés le même jour de l’année ? La plupart des gens refusent… et ils ont tort.
On parle de paradoxe, mais il n’y a aucune contradiction : seulement une intuition qui se trompe lourdement.
Un indice
Il est plus simple de calculer la probabilité de l’événement contraire : « tous les anniversaires sont différents ».
La solution
En ignorant les années bissextiles, la probabilité que personnes aient des anniversaires tous différents vaut :
La probabilité cherchée est . Elle dépasse 50 % dès 23 personnes.
Personnes | 10 | 23 | 30 | 57 |
|---|---|---|---|---|
Au moins un anniversaire commun | 11,7 % | 50,7 % | 70,6 % | 99,0 % |
Pourquoi 23 suffisent
Pourquoi est-ce si contre-intuitif ? Parce qu’on pense à son propre anniversaire, alors que 30 élèves forment 435 paires possibles.
Avec 23 personnes, on compte déjà paires, et chacune a une chance sur 365 de partager la même date. Une bonne approximation de la probabilité cherchée est :
Pour , l’exposant vaut , et la probabilité est d’environ .
Et mon anniversaire à moi ?
Deux élèves quelconques
Dans une classe de 30, la probabilité qu’au moins deux élèves soient nés le même jour est d’environ 71 %.
Un élève né le même jour que moi
Parmi mes 29 camarades, la probabilité que l’un d’eux partage ma date vaut , soit environ 7,6 %. Pour dépasser 50 %, il faudrait 253 personnes !
Calculer soi-même
q = 1
for n in range(1, 31):
q *= (365 - n + 1) / 365
print(n, round(100 * (1 - q), 1), "%")Le même phénomène sert en cryptographie : l’« attaque des anniversaires » exploite le fait que l’on trouve deux messages de même empreinte bien plus vite qu’un message ayant une empreinte donnée.
Dans la réalité, les naissances ne sont pas réparties uniformément sur l’année, ce qui rend les coïncidences encore un peu plus probables que dans le calcul.