On tend une corde autour de la Terre, le long de l’équateur (environ 40 000 km). On rallonge cette corde d’un seul mètre, puis on la soulève uniformément pour qu’elle forme de nouveau un cercle.
Une souris pourrait-elle passer sous la corde ? Et un chat ?
Un indice
Un cercle de rayon a pour périmètre . Que devient le rayon si le périmètre augmente de 1 m ?
La solution
La corde se soulève d’environ 16 cm, partout autour de la Terre : une souris passe sans peine, un chat en se baissant un peu.
Le plus étonnant : le résultat ne dépend pas du rayon. Autour d’un ballon de football ou autour du Soleil, rallonger la corde d’un mètre la soulève toujours de 16 cm.
Pourquoi l’intuition se trompe
Un mètre, comparé à 40 000 km, semble dérisoire : on s’attend à un soulèvement microscopique. Mais ce mètre ne se répartit pas sur la longueur de la corde, il sert à agrandir le rayon. Et le périmètre d’un cercle est proportionnel à son rayon, avec le même coefficient pour tous les cercles :
Objet | Périmètre | Soulèvement pour 1 m de plus |
|---|---|---|
Ballon de football | 70 cm | 16 cm |
Terre (équateur) | 40 075 km | 16 cm |
Soleil | 4,4 millions de km | 16 cm |
À vous : de combien faut-il rallonger la corde pour qu’un adulte de 1,80 m puisse passer dessous sans se baisser ?
La réponse
Il faut m, quelle que soit la taille de la planète.
Et si l’on tirait la corde en un seul point ?
Autre version : au lieu de soulever la corde partout, on la tire vers le haut en un seul point, le plus haut possible, comme un mât de tente. Cette fois, le résultat dépend du rayon, et il est encore plus surprenant : avec le rayon terrestre, la pointe monte à plus de 120 mètres, la hauteur d’un immeuble de 40 étages !
D’où vient ce chiffre ?
De part et d’autre du sommet, la corde quitte la Terre en lui étant tangente. Si est l’angle, vu du centre de la Terre, entre le sommet et chaque point de contact, les deux segments tangents mesurent et remplacent un arc de longueur . Le mètre supplémentaire impose donc :
On en tire la hauteur m. L’équation n’a pas de solution exacte : on la résout numériquement, par dichotomie par exemple.