Les pythagoriciens pensaient que tout nombre pouvait s’écrire comme une fraction. La diagonale d’un carré de côté 1, de longueur , leur a donné tort.
Selon la légende, Hippase de Métaponte, qui aurait révélé ce secret embarrassant, l’aurait payé de sa vie en périssant noyé.
Le problème
Le problème : démontrer qu’il n’existe pas d’entiers et tels que .
Un indice
Raisonnez par l’absurde, avec une fraction irréductible. Si le carré d’un entier est pair, que dire de cet entier ?
La démonstration
Supposons avec irréductible. Alors :
Donc est pair, et aussi : . En remplaçant, , soit : est pair lui aussi.
Or p et q ne peuvent pas être pairs tous les deux, puisque la fraction est irréductible : c’est absurde. Donc √2 est irrationnel.
Le lemme : si p² est pair, alors p est pair
Par contraposée : si est impair, il s’écrit , et
est impair. Un entier dont le carré est pair ne peut donc pas être impair.
Approcher √2
Irrationnel ne veut pas dire inaccessible : on sait approcher √2 d’aussi près qu’on le souhaite. Il y a près de 4 000 ans, un scribe babylonien en donnait déjà une valeur exacte à un millionième près, sur la tablette d’argile aujourd’hui appelée YBC 7289.
La méthode de Héron d’Alexandrie consiste à répéter, en partant de :
n | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
x_n | 1 | 1,5 | 1,416 666… | 1,414 215 686… |
Le nombre de décimales exactes double à peu près à chaque étape : est déjà juste à 11 décimales.
Pour aller plus loin
Pour aller plus loin : adaptez la preuve pour montrer que est irrationnel. Pourquoi la même méthode échoue-t-elle pour ?
La réponse
Pour , le raisonnement est le même, avec « multiple de 3 » à la place de « pair » : si est multiple de 3, alors aussi, car 3 est premier.
Pour , l’égalité donne simplement : aucune contradiction, et pour cause, .